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斐波那契数列解析 斐波那契数列与黄金分割关系

  斐波那契数列解析 斐波那契数列黄金分割关系

  斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为兔子数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1) F(n-2)(n2,nN*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

  与黄金分割关系

  有趣的是,这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618)。

  11=1,12=0.5,23=0.666.。。,35=0.6,58=0.625,5589=0.617977144233=0.6180254636875025=0.6180339886。

  越到后面,这些比值越接近黄金比。

  证明

  a[n 2]=a[n 1] a[n]。两边同时除以a[n 1]得到:a[n 2]/a[n 1]=1 a[n]/a[n 1]。若a[n 1]/a[n]的极限存在,设其极限为x,则lim[n-》;;](a[n 2]/a[n 1])=lim[n-》;;](a[n 1]/a[n])=x。所以x=1 1/x。即x=x 1。所以极限是黄金分割比。

  

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